Das menschliche Auge
Uns interessieren hier zwei Aspekte des menschlichen Auges:
Das Auge als optisches Instrument

sowie
Sehen und Farbwahrnehmung
Dazu müssen wir uns zuerst einmal mit dem Aufbau des Auges beschäftigen.
(Quelle: Wikipedia, Eye_scheme.svg)
Das Licht dringt im Bild von rechts durch die durchsichtige Hornhaut ins Auge ein und wird dort zum ersten Mal gebrochen. An der Linse findet eine zweite Brechung statt und endlich fällt das Licht durch den Glaskörper auf die Netzhaut, welche mit lichtempfindlichen Sensoren, den Stäbchen und Zäpfchen, ausgestattet ist. Damit sich das Bild eines Objektes scharf auf der Netzhaut abzeichnet korrigiert das Gehirn die Brechkraft des Gesamtsystems Auge durch Änderung der Dicke (Brennweite) der Linse. Der Hauptanteil der Brechkraft liegt allerdings in der Hornhaut, die Linse korrigiert nur. Je nach Helligkeit öffnet oder schließt sich die Iris und bildet eine mehr oder weniger große Öffnung, die Pupille. Die Funktion der Pupille entspricht derjenigen der Aperturblende beim Fotoapparat.

Bei entspannter Linse wird ein unendlich weit entferntes Objekt scharf abgebildet: Parallel zur optischen Achse des Auges verlaufende Strahlen werden auf einem Punkt der Netzhaut konzentriert. Deshalb konstruiert man optische Geräte wie Ferngläser, Mikroskope und Fotoapparate so, dass ein paralleles Strahlenbündel das Okular des Gerätes verlässt. Man schaut mit entspanntem Auge ins Okular, die Bündelung auf die Netzhaut kommt dann durch die Linse des Auges zustande.
(Quelle: HMS, Seite 525)
Das obere Bild zeigt den Strahlenverlauf bei Kurz- und Weitsichtigkeit.

Die Netzhaut des Auges enthält die Sensoren, welche die Lichteindrücke aufnehmen und an das Gehirn weitergeben. Dabei gibt es zwei verschieden Arten von Sensoren, nämlich die Zapfen und die Stäbchen. Diese Sensoren sind ausserdem noch unterschiedlich auf der Netzhaut verteilt.


Die Zapfen sind für das Farbensehen verantwortlich, die Stäbchen ermöglichen nur eine Schwarzweißwahrnehmung, sind dafür aber etwa einhundertmal empfindlicher als die Zapfen. Mit ihnen sehen wir des Nachts, wo bekanntlich "alle Katzen grau sind".

Von den Zapfen besitzen wir drei Unterarten, welche unterschiedliche Empfindlichkeiten für die Wellenlängen aufweisen. Man spricht von S-, M- und L-Zapfen. Die Buchstaben stehen für Short, Medium und Long-Wavelength. Da die Zapfen nicht nur für eine bestimmte Farbe empfindlich sind, ist es irreführend, von blau- grün- und rotempfindlichen Zapfen zu sprechen. Die spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfenarten sowie der Stäbchen ist im Bild unten dargestellt.
(Quelle: Leute, Seite 76)
Das obige Bild zeigt allerdings nur die relativen Empfindlichkeiten an, die absoluten Empfindlichkeiten sieht man hier, wobei die Empfindlichkeit der S-Zapfen um den Faktor 3 zu stark dargestellt wurde. Z ist die Summe aller Empfindlichkeiten der drei Zapfenarten. Das Maximum für Z liegt bei 555 nm, also gelbgrün).
(Quelle: Wikipedia, ZapfenEmpfindlichkeit.png)
Die Stäbchen sind für alle Wellenlängen empfindlich, allerdings ist diese Empfindlichkeit abhängig von der Wellenlänge. Das Maximum der Empfindlichkeit liegt bei ungefähr 500 Nanometern (Blaugrün). Es reichen, und da sind die Angaben in der Literatur unterschiedlich, 3 bis 50 Photonen dieser Wellenlänge aus, um einen Lichteindruck zu erzeugen. Bei großer Dunkelheit sehen wir ausschließlich mit den Stäbchen (Dunkeladaption), die Zapfen sind zu unempfindlich. Da wir jedoch im Zentrum unseres schärfsten Sehens (siehe weiter unten) keine Stäbchen haben, sehen wir im Dunkeln schwache Lichter oder Sterne nicht, wenn wir direkt darauf blicken. Blicken wir etwas seitwärts, so können wir sie sehen, weil dort auf der Netzhaut auch Stäbchen sitzen. Bei großer Helligkeit übernehmen die Zapfen das Sehen, die Stäbchen liefern kein Signal mehr ans Gehirn, sie werden praktisch "kurzgeschlossen" - genauer gesagt, ihnen fehlt der Nachschub an Sehpurpur. Dies ist die lichtempfinliche Substanz, deren Umsetzung in den Stäbchen den Nervenimpuls für das Gehirn erzeugt.

Die Netzhaut ist nicht gleichmässig mit Zapfen und Stäbchen ausgestattet. Dort, wo der Sehnerv auf die Netzhaut stößt, sehen wir überhaupt nichts. Dort ist unser "Blinder Fleck". Der Bereich größter Sehschärfe ist der "Gelbe Fleck", die Makula. Und auch dort finden wir noch Unterteilungen:
(Quelle: Leute, Seite 73)
Die Foveola mit einem Durchmesser von 0.3 mm bis 0.5 mm ist die zentrale Zone der Netzhautgrube Fovea. Dies ist der Bereich des schärfsten Sehens, die Literaturangaben sprechen von bis zu 150.000 Zapfen pro Quadratmillimeter. Stäbchen sind dort keine vorhanden, bei Nacht sind wir also dort blind (siehe oben). Wenn wir ein Objekt anvisieren, so gelangt das Licht in diesen Bereich. Es handelt sich dabei um einen Kegel von etwa 5° um die optische Achse des Auges. Je weiter man nach aussen geht, umso kleiner wird die Anzahl der Zapfen und umso größer die der Stäbchen. Etwa in einem Bereich um 20° von der optischen Achse herum ist die Anzahl der Stäbchen um den Faktor 17 größer als die Anzahl der Zapfen, nimmt dann jedoch nach aussen hin weiter ab.

Diese Details werden hier deshalb erwähnt, weil die Farbeindrücke sich ändern, wenn die Objekte ihre Größe ändern - selbst wenn diese Objekte die gleiche Farbe haben. Dies wird bei Normen dadurch berücksichtigt, dass man einen 2°-Normbeobachter und einen 10°-Normbeobachter definiert.

Eine Vorstellung von den Farbeindrücken vermittelt das folgende Bild:
(Quelle: Wikipedia, Netzhautlk-polarp.jpg)
Man unterscheidet zwischen dem fotopischen Sehen (Tagessehen mit den Zapfen) und dem skotopischen Sehen (Nachtsehen mit den Stäbchen). Im folgenden Bild ist die Kurve der jeweiligen Augenempfindlichkeiten dargestellt: V(Lambda) für das fotopische Sehen und V'(Lamda) für das skotopische Sehen.
(Quelle: HMS, Seite 543)
Die Empfindlichkeitskurven sind tabelliert. Im Kuchling findet man tabelliert die Zahlenwerte für V(Lambda):
(Quelle: Kuchling, Seite 407)
Auf den ersten Blick ist eine große Ähnlichkeit zwischen einem Fotoapparat und dem Auge vorhanden: Wir haben eine Optik und ein lichtempfindliches Material. In Wahrheit ist der Prozess des Sehens viel komplizierter und auch noch nicht völlig erforscht. Ein Beispiel dafür sind die Sakkaden, kleine, schnelle Augenbewegungen, die wir überhaupt nicht bemerken. Sie führen dazu, dass ein unbewegtes Bild scheinbar Bewegungen aufweist. Ein Beispiel dafür ist dieses Bild:
(Quelle: Internet)
Die Wand scheint sich zu bewegen.

Ein weiteres Beispiel dafür, wie "genau" unsere Augen arbeiten, ist dieses Bild:
(Quelle: Internet)
Die Felder A und B haben den gleichen Grauwert (RGB 3*107 bis 3*109, hängt vom Pixel ab)
Additive und subtraktive Farbmischung
Ein Prisma zerlegt weisses Licht in seine Spektralfarben von Rot bis Lila. Man kann auch anders herum argumentieren: Ein Gemisch von Farben, das diese Farben in einem bestimmten Mischungsverhältnis enthält, wird von unserem Auge als weiss, grau oder in Extremfall schwarz wahrgenommen. Weissem Licht kann man daher keine eindeutige Wellenlänge zuordnen, es ist ein Gemisch aller Spektralfarben von Rot bis Violett. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von "Unbunt". Wenn in diesem Gemisch eine Farbe fehlt, so nehmen wir die sogenannte Komplementärfarbe wahr.
(Quelle: Wikipedia, Komplementär.png)
In unserer Netzhaut befinden sich die Zapfen, welche unterschiedliche Empfindlichkeiten für die einzelnen Wellenlängen bzw. Farben haben. Aus den von ihnen gelieferten Signalen setzt das Gehirn den Farbeindruck zusammen.

Die Frage, die sich nun stellt, ist folgende: Wie kann man technisch einen bestimmten Farbeindruck erzeugen? Dazu gibt es zwei grundsätzlich unterschiedliche Verfahren: Die additive und die subtraktive Farbmischung.

Nach dem ersten Graßmannschen Gesetz kann man jede Farbe durch Überlagerung dreier Farben darstellen.

Bei der additiven Farbmischung erzeugt man Farbeindrücke durch die Überlagerung von Farbreizen. Wir beschränken uns hier auf den sogenannten RGB-Farbraum. Bei diesem Farbraum sind die Grundfarben Rot, Grün und Blau. Daher auch der Name "RGB".

Man stelle sich drei Scheinwerfer vor, die auf eine Leinwand strahlen. Durch Überlagerung der drei Farben Rot, Grün und Blau entstehen dann die anderen Farben.
(Quelle: Wikipedia, 500px-Synthese%2B.svg.png)
Die Überlagerung von Rot und Grün ergibt Gelb, die von Rot und Blau Magenta und die von Grün und Blau Cyan. Überlagern sich alle drei Grundfarben, so ergibt sich Weiss. Alle anderen Farben lassen sich dadurch herstellen, dass man bei den Grundfarben die Farbsättigung variiert. Dies kann man mit folgendem Applet selbst ausprobieren:

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=39.0

Beispielweise ergibt die Eingabe von Rot 204, Grün 135 und Blau 6 einen Braunton:
Bildschirme erzeugen diese Farben, indem die für jedes Pixel ein Tripel aus den drei Grundfarben darstellen, die je nach Farbton und Sättigung unterschiedlich angesteuert werden. Aus einiger Entfernung betrachtet verschmelzen die Intensitäten der drei Grundfarben zur gewünschten Farbe:
(Quelle: Wikipedia, Monitor_1.jpg)
Bei der subtraktiven Farbmischung sind die Verhältnisse ganz anders. Hier werden, ausgehend von der Farbe Weiss, Farben herausgefiltert, damit der gewünschte Farbeindruck entsteht. Das weisse Licht durchdringt Farbschichten, wird von einem weissen Untergrund reflektiert und durchdringt diese Farbschichten nochmals, bevor es das Auge erreicht.

Als Grundfarben finden wir hier Gelb, Cyan und Magenta:
(Quelle: Wikipedia, 500px-Synthese-.svg.png)
Die Mischung von Magenta und Gelb ergibt Rot, die Mischung von Magenta und Cyan ergibt Blau und die Mischung von Geld und Cyan ergibt Grün. Die Mischung aller drei Farben ergibt Schwarz.

Die subtraktive Farbmischung wird bei Druckverfahren und Papierabzügen von Fotos angewandt. Die Farben Gelb, Magenta und Cyan sind ja auch die Farben, die man in den Farbpatronen von Farbdruckern findet.

Das gleiche Applet wie oben: http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=39.0

(Für die subtraktive Farbmischung im Applet die rechte Maustaste zweimal schnell hintereinander drücken)

Eigentlich würde die Kombination dieser drei Grundfarben ausreichen, um ein tiefes Schwarz zu erzeugen. Mit den benutzen Farbstoffen gelingt dies jedoch nicht. Deshalb wird im Vierfarbdruck als vierte Farbe noch schwarz hinzugenommen. Man kommt dann zum CYMK-Farbmodell. "CYMK" steht dabei für Cyan, Yellow, Magenta und Key. Als "Key" wird die schwarze Farbe bezeichnet, da das "B" (Black) bereits für "Blue" vergeben ist.

Das folgende Bild zeigt das Zustandekommen eines Vierfarbdruckes aus den vier Farbauszügen Gelb (1), Magenta (2) und Cyan (4). (5) ist das aus den drei Farbauszügen zusammengesetzte Bild und man sieht, dass ein tiefes Schwarz nicht erreicht wird. Erst der Zusatz von Schwarz (7) liefert dann das fertige Bild.
(Quelle: Wikipedia, 658px-LA2-Blitz-0424.jpg)
Im Gegensatz zum Fotopapier, bei dem die Filterschichten kontinuierlich übereinander liegen, werden beim Vierfarbdruck die Einzelbilder gerastert und dann übereinandergedruckt. Das Raster entscheidet dann über den Farbeindruck:
(Quelle: Wikipedia, 500px-Halftoningcolor.svg.png)
(Quelle: Wikipedia, 500px-Halftoningcolor.svg.png)
Zum Abschluss des Farbmischungsabschnittes sei noch kurz der Bayer-Sensor, das lichtempfindliche Element von Digitalkameras, vorgestellt.

Ein solcher Sensor besteht aus mehreren Millionen lichtempfindlicher Fotodioden, für jedes Pixel eine. Jede dieser Fotodioden gibt ein elektrisches Signal ab, wenn sie von Licht getroffen werden. Das Bild eines solchen Sensors wäre schwarzweiss, denn die Fotodiode kann nicht zwischen den Farben unterscheiden. Man überzieht nun diesen Sensor mit einem Farbfilter, auf dem schachbrettartig ein Muster aufgebracht ist.
(Quelle: Wikipedia, 500px-Bayer_matrix.svg.png)
Jedes Quadrat deckt ein Pixel ab. Man findet zumeist 50% grüne Quadrate, 25% rote und 25% blaue. Grün wird deshalb bevorzugt behandelt, weil das menschliche Auge für die Farbe grün am empfindlichsten ist. Dies bedeutet, dass eine Digitalkamera mit 10 Megapixeln Bildgröße 5 Megapixel für grün und jeweils 2.5 Megapixel für Rot und Blau hat. Ein in der Kamera implementierter Algorithmus berechnen nun die wahren Farben für jedes Pixel aus und benutzt dabei die Pixel aus der Umgebung des jeweiligen Pixels. Das Ergebnis sind dann 10 Megapixel, von denen jedes die Farbinformation RGB hat.

Das Größe des Signales jeder Fotodiode ist von ihrer Fläche abhängig. Vergrößert man die Anzahl der Fotodioden auf dem Sensor bei gleichbleibender Fläche, so wird die Fläche pro Fotodiode kleiner und das Signal schwächer. Dies muss durch eine elektronische Verstärkung wieder ausgeglichen werden. Verstärkung bedeutet aber auch zusätzliches Rauschen, welches das Bild unruhig macht. Deshalb kommt es vor, dass ein Nachfolgemodell einer Kamera schlechtere Bilder als ihre Vorgängerin liefert, weil die Anzahl der Pixel erhöht wurde.

Ebenso wird bei wenig Licht (Nachtaufnahmen, dunkle Bildteile) das Bildrauschen sichtbar.
Radio- und Fotometrie
Das Licht ist nur ein kleiner Ausschnitt aus dem elektromagnetischen Spektrum: Wir finden u. a. Radiowellen, Wellen für drahtlose Telefonie, infrarote und ultraviolette Strahlung, Röntgenstrahlung und Höhenstrahlung. Alle diese Strahlungen sind für das Auge unsichtbar und wir können sie nicht wahrnehmen, obwohl sie möglicherweise einen schädigenden Einfluss auf unseren Körper haben.

Man unterscheidet deshalb zwischen Strahlungsmessung einerseits und Lichtmessung andererseits. Die Strahlungsmessung (Radiometrie) kann alle Wellenlängen einbeziehen, auch die des sichtbaren Lichtes. Sie liefert objektive Ergebnisse. Die Lichtmessung (Fotometrie) hingegen berücksichtigt die Eigenschaften des menschlichen Auges, welches beispielsweise Blau schlechter wahrnehmen kann als Rot. Die Messung selber wird natürlich mit technischen Geräten vorgenommen, die genauso objektiv sind wie die Geräte der Strahlungsmessung.

Ein Beispiel: Nehmen wir einmal an, dass in einiger Entfernung vom Messort ein Kurzwellensender, eine blaue und eine grüne Glühbirne plaziert sind. Alle drei Strahler sollen eine Leistung von 40 Watt mit einer Kugelcharakteristik abstrahlen. Ein Strahlungsmessgerät würde am Messort für alle drei Strahler die gleiche Leistung messen. Ein Lichtmessgerät würde den Kurzwellensender garnicht bemerken und für die blaue Lampe eine niedrigere Leistung angeben als für die grüne Lampe. Eben weil das Auge für Blau unempfindlicher ist als für grün.

Die strahlungstechnischen Größen versieht man mit dem Index "e" für "energetisch", die lichttechnischen Größen mit dem Index "v" für "visuell".

Man kann beispielsweise mit verschiedenen Messmethoden die Strahlungsenergie Qe messen, die einem Empfänger zugeführt wird. Für die Strahlungsleistung Phie gilt dann
Die Strahlungsleistung misst man in Watt, die Strahlungsenergie in Wsec oder J (Joule):
1W = 1J/sec
Die Fläche des Empfängers und seine Entfernung vom Sender bestimmen unter anderem die aufgenommene Strahlungleistung. Es ist klar, dass in großflächiges Solarmodul mehr Leistung erhält als das winzige Pixel eines Sensors für eine Digitalkamera, wenn man beide dem Sonnenlicht aussetzt.
Wir müssen noch den Raumwinkel Omega definieren. Dazu stellen wir uns eine runden Luftballon vor, auf der eine Fläche eine andere Farbe hat als der Rest der Oberfläche. Bläst man nun diesen Luftballon auf, dann wachsen die beiden verschiedenfarbigen Flächen in gleichem Maße. Wenn 10 Prozent der Fläche eine andere Farbe haben als der Rest, so ist dies unabhängig von Radius r. Die Fläche muss nicht kreisrund sein wie in der Abbildung, sondern kann eine beliebige Form haben.
(Quelle: Wikipedia, 500px-Angle_solide_coordonnees.svg.png)
Zur Definition des Raumwinkels: Um einen leuchtenden Punkt wird eine Kugel mit Radius r beschrieben. Beleuchtet die Strahlung eine Figur der Fläche A auf der Kugel, dann sagt man, dass die Strahlung im Raumwinkel Omega = A/r2 auftritt. (HMS, Seite 535)
(Quelle: HMS, Seite 535)
Die Einheit des Raumwinkels ist der Steradiant sr. An sich ist der Steradiant, auch Omega0 genannt, eine dimensionslose Größe. Man schreibt ihn trotzdem dazu, um kennzuzeichnen, dass es sich um einen Raumwinkel handelt.
Optik 2
Bei einer Kugel mit dem Radius 1 Meter bedeutet eine Fläche von 1 Quadratmeter, dass ein Raumwinkel von 1 sr umschlossen wird. Die gesamte Kugeloberfläche hat einen Flächeninhalt von
Einer Halbkugel entspricht ein Raumwinkel von 2* Pi oder etwa 6.28 sr.

Ein Raumwinkel ist auf einer Kugel definiert. In großer Entfernung vom Kugelmittelpunkt kann man die "kugelige" Fläche A durch eine ebene Fläche mit der gleichen Berandung ersetzen.

Betrachten wir noch einmal das obige Bild 6.62 aus HMS. Nach dem Satz von der Erhaltung der Energie fällt (bei verlustlosen Medien) auf alle drei Flächen die gleiche Strahlungsleistung. Bleibt die Fläche jedoch konstant, so nimmt die Strahlungsleistung, die sie trifft, quadratisch mit der Entfernung ab.

Wir betrachten nun zwei kleine Flächen A1 und A2, die weit voneinander entfernt sind. Dann können wir diese Flächen als eben betrachten. Fläche A1 sende elektromagnetische Wellen (z. B. Licht) aus, Fläche A2 sei der Empfänger.
(Quelle: HMS, Seite 536)
Ausserdem sind diese Flächen nicht einander zugewandt, sondern ihre Flächennormalen schliessen die Winkel Epsilon1 und Epsilon2 zur Verbindungslinie der Flächenmittelpunkte, also dem Abstand r, ein.

Die Projektion der Fläche A2 auf die Verbindungslinie ist
und der Raumwinkel beträgt dann
Die Strahlungsleistung Phie ist proportional zum Raumwinkel und mit der Strahlstärke (auch Strahlungsintensität genannt) Ie findet man
Die Maßeinheit der Strahlungsintensität ist W/sr.

Die Strahlungsintensität Ie eines Senders ist proportional zu der dem Empfänger zugewandten Fläche. Diese ist hier aber nicht gleich A1, sondern nur gleich
A1*cos(Epsilon1)
Mit der Strahldichte Le (Einheit W/(m2 sr)) erhält man dann für die Strahlungsintensität  Ie in Abhängigkeit von Epsilon1
Wir können jetzt die Strahlungsleistung Phie berechnen, die auf den Empfänger trifft:
Der Raumwinkel Omega wurde aber bereits berechnet:
so dass nun gilt
Dieses ist das fotometrische Grundgesetz. Etwas umgeschrieben lautet es:
Das Gesetz ist symmetrisch und besagt, dass die Strahlungsleistung Phie, welche auf eine der beiden Flächen fällt, abhängig ist von der Strahldichte Le der anderen Fläche, dem Winkel zwischen beiden Flächen und dem Quadrat des Abstandes r.

Zum Abschluss des Abschnittes eine Tabelle mit den radiometrischen Größen:
(Quelle: HMS, Seite 539)
Lambertscher Strahler
Die Strahlintensität Ie beim Lambertschen Strahler gehorcht dem Lambertschen Cosinusgesetz:
Dabei ist die Abstrahlung senkrecht zur Flächennormale maximal und nimmt cosinusförmig ab, bis die Strahlintensität bei Epsilon1 = 90° zu Null wird. Der Winkel Epsilon1 ist der Winkel zwischen der Flächennormalen und dem Betrachter ("der Fläche A2").
(Quelle: HMS, Seite 536)
Diffus reflektierende, rauhe Oberflächen wie Papier, Putz etc. sind in guter Näherung Lambertsche Strahler. Betrachtet man eine solche Fläche unter einem Winkel Epsilon1, so nimmt die Intensität cosinusförmig mit dem Betrachtungswinkel ab - siehe obige Formel. Gleichzeitig wird die betrachtete Fläche ebenfalls cosinusförmig kleiner:
A1(Epsilon1) = A1 * cos(Epsilon1)
Die Strahldichte Le ist dann unabhängig vom Winkel Epsilon1:
Dies bedeutet, dass wir eine rauhe Fläche immer mit der gleichen Helligkeit wahrnehmen, unabhängig davon, unter welchem Winkel wir sie betrachten. Im obigen Bild 6.64 aus HMS ist rechts noch die Abstrahlcharakteristik einer Leuchtdiode abgebildet. Sie strahlt das Licht nur unter einem engen Winkel gebündelt ab und ist kein Lambertscher Strahler.
(Quelle: Wikipedia, Lambertcosrp.png)
Text zu diesem Bild: http://de.wikipedia.org/wiki/Lambertscher_Strahler:
Eine gute Näherung für einen Lambert-Strahler ist mattes Papier. Kleine Lufteinschlüsse zwischen den Fasern bilden Streuzentren für das sichtbare Licht. Fehlen sie, zum Beispiel durch Tränken des Papiers mit Wasser oder Öl, verliert Papier einen Teil seiner Reflexionseigenschaften und wird transluzent.

Die Bilder oben veranschaulichen die Aussage des Lambertschen Gesetzes an einem Experiment. Von links fällt jeweils in Höhe der roten Markierung am Bildrand ein Laserstrahl ein (im rechten Bild rot eingezeichnet) und trifft auf einen senkrecht zur Bildebene stehenden Papierstreifen (weiß eingezeichnet). Der Strahl verläuft flach über einem Schirm, der das vom Papier gestreute Licht (gelbe Pfeile) für die Kamera sichtbar macht. Im ersten Bild steht das Papier senkrecht zum Strahl; die Verteilung des Streulichts ist symmetrisch. Im zweiten Bild steht das Papier schräg; die Verteilung ist nahezu symmetrisch zum Lot auf das Papier; eine leichte Bevorzugung der Streuung in Reflexionsrichtung ist zu erkennen. Im dritten Bild handelt es sich um Transparentpapier, das fast so viel Licht durchlässt wie rückstreut; es liegt keine ausgeprägte Vielfachstreuung mehr vor, sodass die Abweichung vom Lambertschen Gesetz größer sind.
Das nächste Bild zeigt eine Leuchtdiode, die schräg auf eine Oberfläche leuchtet:
(Quelle: Wikipedia, Uv-LED.jpg)
Man erkennt den schmalen Abstrahlkegel der Leuchtdiode.
Spektren
Ein schwarzer Strahler ist ein Körper, der alle elektromagnetischen Wellen, welche auf ihn fallen, absorbiert und andererseits elektromagnetische Wellen mit einer charakteristischen Intensität und spektralen Verteilung aussendet. Intensität und Verteilung hängen dabei nur von der Temperatur des schwarzen Strahlers ab. Bei gleicher Form kann ein schwarzer Gegenstand gegenüber andersfarbigen Gegenständen am meisten Energie abstrahlen. Dies ist auch der Grund, warum Kühlkörper in der Elektronik vielfach schwarz eloxiert sind.

Man kann Lichtquellen, die Licht durch Hitze erzeugen, vielfach in erster Näherung als schwarzen Strahler betrachten. Man nennt diese Lichtquellen auch Temperaturstrahler.
(Quelle: Wikipedia, 800px-BlackbodySpectrum_loglog_150dpi_de.png)
Das obige Bild zeigt in doppelt logarithmischer Darstellung das Spektrum eines schwarzen Strahlers in Abhängigkeit von der Temperatur.

Für die spektrale Leuchtdichte gilt die Plancksche Strahlungsgleichung:
und für die vom schwarzen Körper abgestrahlte Leistung das Stefan Boltzmannsche Gesetz
Die abgestrahlte Leistung nimmt also mit der vierten Potenz der Temperatur zu.

Bei einer Temperatur von 27° Celsius, dies entspricht etwa 300 Kelvin, strahlt ein schwarzer Körper etwa 460 Watt pro Quadratmeter ab, die Wellenlänge mit der am stärksten abgestrahlten Leistung beträgt etwa 10 Mikrometer - für unser Auge somit unsichtbar. Hat der schwarze Strahler eine Temperatur von 5800 K, was der Temperatur der Sonnenoberfläche entspricht, so strahlt dieser Strahler pro Quadratmeter 64 Megawatt ab und ein Teil der Strahlung liegt im für unser Auge sichtbaren Bereich: Das Licht wird als weiß empfunden. Bei dieser Temperatur ist der schwarze Strahler bereits gasförmig.
(Quelle: Wikipedia, 800px-EffectiveTemperature_300dpi.png)
Bild: Abstrahlverhalten der Sonne verglichen mit dem Abstrahlverhalten eines schwarzen Strahlers mit einer Temperatur von 5777 K.

Erhitzt man ein Material, beispielsweise den Glühfaden einer Glühlampe, so stellen sich je nach Temperatur folgende Farben ein:
600°C:   Rotglut
850°C:   Hellrot
1000°C:  Gelb
1300"C:  Weiß
Damit ändert sich die Farbe des abgestrahlten Lichtes. Je höher die Temperatur wird, umso größer wird der Blauanteil des Glühfadens, umso bläulicher wird das Licht. Die Temperatur eine schwarzen Strahlers, dessen abgestrahltes Licht dem Licht einer bestimmten Lichtquelle am ähnlichsten ist, nennt man die Farbtemperatur dieser Lichtquelle.
(Quelle: Wikipedia, 1000px-Color_temperature.svg.png)
Man sieht, dass beispielsweise gelbes Licht eine Farbtemperatur von etwa 3000 K hat.

Wichtig ist, dass man reale Temperaturen und Farbtemperaturen unterscheidet. Ein gelbes Kleidungsstück hat keine Temperatur von 3000 K, sondern das von ihm reflektierte Licht gleicht dem eines schwarzen Strahlers mit einer Temperatur von 3000 K.

Das nächste Bild zeigt das Spektrum einer Halogenlampe:
(Quelle: Wikipedia, Spectre_d'une_lampe_halogène.jpg)
Dieses Spektrum zeigt die für Glühlampen typische Betonung des Rotanteiles: Das Licht ist deutlich gelblicher als das Licht der Sonne, zumindest während eines großen Teils des Tages.

Das menschliche Auge gewöhnt sich an farbiges Licht. So empfunden wir Gegenstände (fast) immer als gleichfarbig, obwohl wir sie einmal im Tageslicht und einmal unter Kunstlicht betrachten. Aufnahmen von Motiven, die bei farbigen Kunstlicht (z. B. Disco) aufgenommen wurden wirken immer anders als der persönliche Eindruck - sie sind deutlich farbstichiger als man das Motiv selbst in Erinnerung hat. Dies liegt daran, dass Filmmaterial auf eine bestimmte Lichtart ausgelegt ist. Es gibt Tageslichtfilme und Kunstlichtfilme. Digitalkameras kann man auf eine bestimmte Lichtart einstellen oder so programmieren, dass vor jeder Aufnahme automatisch ein Weißabgleich durchgeführt wird.

Das folgende Bild zeigt ein Motiv bei Tageslicht, bei dem der Kamerasensor einmal auf Kunstlicht (2800K), Tageslicht (4500K) und extrem blauen Himmel (10000K) eingestellt war. Das letzte Bild repräsentiert den automatischen Weißabgleich.
(Quelle: WIkipedia, 800px-Whitebalance4.jpg)
Bei der Einstellung auf Kunstlicht "erwartet" der Kamerasensor einen hohen Gelbanteil, die Aufnahme bei Tageslicht ist also viel zu Blau, weil der Blauanteil des Tageslichtes eben größer ist als der Blauanteil des Kunstlichtes. Bei der Einstellung "Tageslicht" ist die Farbwiedergabe einigermassen richtig. Stellt man den Sensor auf "Extrem blauer Himmel" ein, so wird das Motiv zu gelb wiedergegeben. Ein ähnlich gelbstichiges Bild kann man erwarten, wenn man bei Kunstlicht ein Motiv mit einem Tageslichtfilm aufnimmt. Der automatische Weißabgleich liefert im obinen Bild das farblich beste Ergebnis. Dies muss aber nicht immer sein.

Die Spektren von Temperaturstrahlern sind kontinuierlich. Das bedeutet, dass sie alle sichtbaren Farben enthalten, wenn auch in unterschiedlichen Anteilen.

Anders sieht es aus, wenn man andere Lichtquellen als Temperaturstrahler hat: Diese liefern nicht ein kontinuierliches Spektrum, sondern mehr oder weniger ein Linienspektrum, es fehlen spektrale Anteile.

Das folgende Bild zeigt zwei Spektren: Oben das einer üblichen 60 Watt-Glühlampe, unten das einer Energiesparlampe:
(Quelle: Wikipedia, 738px-Spektrum_60W_ESL.jpg)
Die Bildunterschrift bei Wikipedia lautet:

Aufnahmen durch Handspektroskop

oben: kontinuierliches Spektrum einer 60-W-Glühlampe;

unten: diskontinuierliches Linienspektrum einer äquivalenten 11-W-Kompaktleuchtstofflampe. (Dem Licht fehlen Farbkomponenten, weshalb unter dem Licht dieser Lampe manche Farben anders wiedergegeben werden.)
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kompaktleuchtstofflampe)

Bei der Leuchtstofflampe  (Quecksilberdampf-Niederdrucklampe) entsteht  durch Gasentladung im Innern der Röhre ultraviolettes Licht, welches Farbstoffe auf der Innenseite des Glases zum Leuchten in sichtbarem Licht anregt. Diese Farbstoffe leuchten aber nicht im vollen Spektrum sondern nur in bestimmten Wellenbereichen. Das Auge mag sich täuschen lassen, bei Filmmaterial und Halbleiterchips können die Farben unterschiedlich sein.
Lichttechnische Größen
Ein Video dazu: http://www.youtube.com/watch?v=unbMX4VMcsk

Lokal: Spektrum
Es wurde bereits der Unterschied zwischen Radiometrie und Fotometrie angesprochen: Bei der Radiometrie berücksichtigt man alle elektromagnetischen Wellen, in der Fotometrie nur das sichtbare Licht. Ausserdem muss dem Umstand Rechnung getragen werden, dass das Auge für die unterschiedlichen Wellenlängen auch unterschiedlich empfindlich ist. Hat man beispielsweise zwei Lichtquellen, die bei unterschiedlichen Farben die gleiche Strahlungsleistung abgeben, so nimmt das Auge die eine Lichtquelle heller wahr als die andere. Wir müssen ausserdem noch zwischen dem fotopischen Sehen (Zapfensehen, Farben) und dem skotopischen Sehen (Stäbchensehen, Schwarzweißsehen) unterscheiden.

Für einen Standardbeobachter wurden die Hellempfindlichkeitsgrade V(Lambda) für fotopisches Sehen und V'(Lambda) für skotopisches Sehen von der CIE (Commission Internationale de l’Eclairage) festgelegt. Die beiden Kurven wurden weiter oben schon einmal gezeigt, werden hier aber noch einmal dargestellt:
(Quelle: HMS, Seite 543)
Die Empfindlichkeitskurven sind  in DIN 5031 tabelliert. Im Kuchling findet man die Zahlenwerte für V(Lambda):
(Quelle: Kuchling, Seite 407)   
Sendet eine Lichtquelle die Strahlungsleistung Phie (Index "e" für "energetisch") mit der Wellenlänge Lambda aus, so bewertet das Auge diese mit der Hellempfindlichkeit V(Lambda). Der Lichtstrom Phiv (Index "v" für "visuell") ist dann das Maß für die wahrgenomme Helligkeit. Es gilt für monochromatisches Licht:
Km ist der Maximalwert des fotometrischen Strahlungsäquivalentes und hat einen Zahlenwert von
Man benötigt das fotometrische Strahlungsäquivalent zur Umrechnung von radiometrischen auf fotometrische Größen (s. u.).

Ist das Licht nicht monochromatisch, sondern breitbandig, so muss integriert werden:
Die SI-Basiseinheit für die Lichtstärke ist das Candela cd.
Die Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hz in eine bestimmte Richtung aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung Ie = 1/683W/sr beträgt. ... Licht mit der Frequenz f = 540 THz hat die Wellenlänge Lambda= 555 nm. Der Hellempfindlichkeitsgrad ist in diesem Fall V(555 nm) = 1.(HMS, Seite 544)

Aus der Definition für die Candela folgt dann auch direkt:
Die abgeleiteten fotometrischen Einheiten sind das Lumen (lm)  für den Lichtstrom und das Lux (lx) für die Beleuchtungsstärke:
1 lm = 1 cd * sr

1 lx = 1 lm/m2
Die nachfolgende Tabelle liefert eine Gegenüberstellung von radiometrischen und den entsprechenden fotometrischen Größen:
(Quelle: HMS, Seite 543)
Eine übersichtliche Grafik aus dem Buch von Ulrich Leute stellt die Begriffe gegenüber:
(Quelle: Leute, Seite 97)
Dazu das Beispiel 6.3-2  aus HMS, Seite 543:

Eine rote LED emittiert Licht der Wellenlänge Lambda= 660 nm. Die Strahlungsleistung beträgt Phie = 46 µW.Wie groß ist der Lichtstrom Phiv?

Lösung

Bei Lambda = 660 nm ist der Hellempfindlichkeitsgrad V(Lambda) = 6,1 · 10-2. Damit errechnet sich der Lichtstrom zu
Phiv = 683 lm/W· 46 · 10-6W· 6,1 · 10-2 = 1,9 · 10-3 lm
Zwei Tabellen aus HMS:
(Quelle: HMS, Seite 544)
(Quelle: HMS, Seite 544)
Übungsaufgabe Ü 6.3-4 (HMS, Seiten 545 und 950)

Welche Lichtstärke Iv muss eine Lichtquelle haben, damit an einem r = 1,5m entfernten Arbeitsplatz bei senkrechter Beleuchtung die Beleuchtungsstärke Ev = 500 lx beträgt? (Anmerkung: "Senkrecht" bedeutet hier "Auftreffwinkel Epsilon2 = 0 Grad".)

Lösung:
Farbmetrik
Das erste Graßmannsche Gesetz besagt, dass man jede beliebige Farbe aus drei Grundfarben, den Primärfarben, zusammensetzen kann. Einzige Bedingung dabei ist, dass man keine dieser Farben aus den beiden anderen Farben durch Mischen erzeugen kann. Ein Beispiel dafür sind die Farben Rot, Grün und Blau:
(Quelle: HMS, Seite 545)
Man kann mit diesen Farben ein rechtwinkeliges Koordinatensystem aufspannen und jede beliebige Farbe erzeugen:
(Quelle: Kuchling, Seite 78)
Für eine Farbe F gilt dann:
F = r*R + g*G + b*B
Dabei sind R, G und B die Einheitsvektoren und r, g und b Faktoren, welche F bestimmen.

Der Nachteil bei dieser Vorgehensweise ist der, dass die Faktoren r, g oder b auch negativ sein können, um eine bestimmte Farbe darzustellen. Deshalb wurde 1931 das Normvalenzsystem mit den Valenzen X, Y und Z eingeführt. Dieses System ist virtuell: Diese Valenzen sind physikalisch nicht darstellbar. Man kann aber jede beliebige Farbe aus diesen Valenzen erzeugen und ausserdem ist eine zweidimensionale Darstellung der Farben möglich, was im obigen Bild mit den drei Dimensionen R, G und B nicht der Fall ist.

Im Bild unten sind die drei Kurven xquer(Lambda), yquer(Lambda) und zquer(Lambda) dargestellt. Man kann diese drei Kurven auch als "Empfindlichkeiten" in Abhängigkeit von der Wellenlänge betrachten.
(Quelle: HMS, Seite 547)
Für eine beliebige Farbe F gilt dann
F = X*X + Y*Y +Z*Z
Für die Faktoren X, Y und Z gilt mit der Spektralfunktion Phi(Lamba) und einer geeigneten Konstanten k:
Wie kann man eine Farbe kennzeichnen? Beispielsweise durch die Angabe der RGB-Werte. Dies ist aber in diesem System nicht möglich. Hier kennzeichnet man eine Farbe durch die drei Begriffe
Farbton (Hue)
Farbsättigung (Saturation)
Helligkeit (Lightness)
Um die Bedeutung dieser Begriffe (HSL) zu demonstrieren, wird hier ein Foto mit Photoshop bearbeitet. Das Bild zeigt einen Splitter der Telekom. In der Mitte ist jeweils das unbearbeitete Bild.

Farbton, Hue:

Hue minus 100 Einheiten:
Hue unverändert:
Hue plus 100 Einheiten:
Man erkennt, dass die "unbunten" Farben grau und weiss sich praktisch garnicht verändern, die bunten Farben hingegen sehr stark.


Farbsättigung, Saturation:

Farbsättigung -75 Einheiten:
Farbsättigung unverändert:
Farbsättigung +75 Einheiten:
Nimmt man die Farbsättigung zurück, so entsteht fast ein Schwarzweissbild, verstärkt man sie, so werden die Farben kitschig bunt.

Helligkeit, Lightness:

Helligkeit minus 50 Einheiten:
Helligkeit unverändert:
Helligkeit plus 100 Einheiten:
Das Bild wird unter- bzw. überbelichtet.
Eine Darstellung des HSL-Farbraumes:
(Quelle: Wikipedia, Farbstruktur.jpg)
Für eine zweidimensionale Darstellung muss man auf eine der drei Angaben verzichten, die andererseits natürlich auch nicht verloren gehen darf. Deshalb bedient man sich eines Rechentricks: Man berechnet drei Zahlen x, y und z, die zusammen die Zahl Eins ergeben. So reicht die Angabe von x und y aus, um z daraus berechnen zu können:
Das Ergebnis ist die "Farbschuhsohle":
(Quelle: Wikipedia, 500px-CIE1931xy_blank.svg.png)
Dies ist die Normfarbtafel für das 2°-Normvalenzsystem und zeigt alle darstellbaren Farben. Der Rand besteht aus zwei Anteilen:
dem hufeisenförmigen Spektralfarbenzug, der alle Farben des Spektrums enthält. Im Bild sind die Wellenlängen und die dazugehörigen Farben dargestellt. Diese Farben sind monochromatisch.
Die Purpurgerade, die alle Mischfarben der Spektralfarben Violett (380nm) und Rot (780nm) enthält.
Alle Wiedergabetechniken (Bildschirm ,Beamer, Druck etc.) können nur einen begrenzten Teil der Normfarbtafel wiedergeben. Deshalb werden im obigen Bild auch nicht alle Farben wiedergegeben. Welche Farben aktuell dargestellt werden, hängt vom Medium ab, welches Sie gerade benutzen. Hörsaal: Beamer, Zuhause: Bildschirm oder Papierausdruck.
Etwas mehr über den Aufbau der Normfarbtafel zeigt dieses Bild:
(Quelle: HMS, Seite 547)
Den Punkt E nennt man den Unbuntpunkt oder auch Weißpunkt. Er hat die Koordinaten x = y = z = 1/3. Verbindet man E mit einem Punkt auf dem Spektralfarbenzug (im Bild der Punkt S als Beispiel), so erhält man immer den gleichen Farbton, allerding mit unterschiedlichem Sättigungsgrad: Von der gesättigten Farbe (S) bis zum Weiss (E). Verbindet man zwei beliebige Farben innerhalb der Farbtafel durch eine Gerade miteinander, so sieht man auf dieser Geraden alle Farben, die sich durch Mischung dieser "Ursprungsfarben" erzeugen lassen.

Man kann eine Farbe durch Mischung zweier Farben erzeugen, wenn die Verbindungsgerade dieser Ursprungsfarben den Farbort der gewünschten Farbe berührt. Die gleiche Farbe kann man wiederum dadurch erzeugen. dass man zwei andere Ursprungsfarben nimmt, deren Verbindungsgerade aber ebenfalls den gewünschten Farbort berührt: Der Farbeindruck ist der gleiche. Das führt uns zu dem Effekt der Metamerie: Zwei Farben mögen beispielsweise bei Tageslicht im Auge den gleichen Farbeindruck erzeugen, bei Kunstlicht sehen sie jedoch anders aus. Dies ist bei Wikipedia unter dem Stichwort "Metamerie" erklärt.

Nimmt man drei Farben, so spannen die Verbindungsgeraden zu diesen Farben ein Dreieck auf. Mit diesen drei Farben kann man alle Farben innerhalb des Dreieckes darstellen. Farben ausserhalb des Dreiecks können nicht erzeugt werden. Im obigen Bild sind die Farben der Leuchtstoffe Rot, Grün und Blau einer Farbbildröhre dargestellt. Alle Farben innerhalb des gestrichelten Dreieckes können somit mit der Bildröhre eines Röhrenfernsehers dargestellt werden.

Die rote Kurve im obigen Bild gibt die Farben eines schwarzen Strahlers wieder, dessen Farben ja von der Temperatur abhängig sind. Dem Weisspunkt am nächsten kommt dieser Kurvenzug bei etwa 5600 K. Liegt der Farbort einer Farbe nicht auf diesem Kurvenzug, kann man für diese Farbe nur eine "ähnlichste Farbtemperatur" angeben.

Alle technischen Geräte können nur eine begrenzte Anzahl von Farben darstellen. Man spricht von Farbräumen. Einige häufig benutzte Farbräume zeigt das folgende Bild:
(Quelle: Wikipedia, 1000px-CIE_RGB-CMYK-Beleucht.svg.png)
Manche Farbdrucker besitzen keine 5 Farbpatronen (Cyan, Magenta, Gelb, Schwarz für Farbdruck, Schwarz für Schwarzweissdruck), sondern 7. Damit erreicht man, dass das Dreieck CYM zu einem Fünfeck wird und vergrößert damit den Farbraum. Auch im Bereich der Bildschirme sind Bestrebungen im Gange, durch Gelb den Farbraum zu erweitern (RGBY von Sharp, 2010).


Diese Farbräume, auch Gamut genannt, sind für jedes Gerät typisch. Macht man beispielsweise ein Foto mit einer Digitalkamera, bearbeitet es mit einem Bildeditor und gibt es auf einem Bildschirm wieder, so ist es Aufgabe des Colormanagements eines PCs und des Editors, die Farbräume der beiden Geräte optimal aufeinander anzupassen, damit eine möglichst naturgetreue Farbwiedergabe erreicht wird.

Ein Beispiel: Man kann bei einem installierten Scanner sowohl den Farbraum des Scanners als auch den Farbraum des Zielgerätes einstellen:
Voreinstellungen eines Scanners
Das System hat beispielsweise erkannt, dass ein Drucker Canon IP4300 installiert ist und bietet als Zielfarbraum spezielle Farbräume ("Farbprofile") für diesen Drucker an. Jedes Gerät verfügt über mindestens ein Farbprofil, welches Umrechnungstabellen etc. enthält.
Wellenoptik
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Wellennatur des Lichtes. Dabei sei auf das Kapitel "Wellen" verwiesen. Hier werden wir uns mit speziellen Eigenschaften der Lichtwellen beschäftigen. Dabei wird besonderes Augenmerk auf konstruktive und destrukrive Interferenz und Beugung an Spalten gelegt.
Kohärenz
Konstruktive und destruktive Interferenz können nur auftreten, wenn die interferierenden Wellen eine feste Phasenbeziehung zueinander haben, also kohärent sind. Damit ist das Auftreten dieser Interferenzen praktisch ausgeschlossen, wenn die beiden Lichtstrahlen von verschiedenen Punkten der Lichtquelle kommen, beispielsweise von zwei unterschiedlichen Stellen des Glühfadens einer Glühlampe.

Weiterhin besteht das Licht, welches wir wahrnehmen, aus einer sehr großen Anzahl sehr kurzer Lichtblitze. Jeder dieser Lichtblitze entspricht einem Wellenpaket einer bestimmten Länge. Nur wenn jedes Wellenpaket in zwei Teile aufgespalten und wieder zusammengeführt wird, tritt Interferenz auf. Man kann dies mit  Hilfe von Strahlteilern und Spiegeln erreichen. Das folgende Bild zeigt zwei Wellenzüge, die der gleichen Quelle entstammen und daher kohärent sind:
(Quelle: HMS, Seite 550)
Aus dem Bild ist ersichtlich, dass die beiden Wellenzüge "sich treffen" müssen, um miteinander zu interferieren. Je länger diese Wellenzüge sind, umso weniger streng sind natürlich die Bedingungen dafür. Variiert man den Gangunterschied zwischen den Wellenzügen, so wird man beobachten, dass innerhalb eines bestimmten Gangunterschiedes Interferenz auftritt - die Wellenpakete treffen sich also - und ausserhalb nicht. Der größte Gangunterschied, bei dem man noch Interferenz beobachten kann, nennt man Kohärenzlänge.

Die Kohärenzlänge l und die Dauer Tau des Lichtblitzes hängen zusammen:
Die Tabelle zeigt die Kohärenzlänge einiger Lichtquellen:
(Quelle: HMS, Seite 550)
Die strahlende Fläche darf nicht zu groß sein. Wenn b die Größe der Lichtquelle ist und Sigma der halbe Öffnungswinkel, dann tritt Interferenz nur auf wenn gilt:
2*b*sin(Sigma) << Lambda
Fresnelscher Spiegelversuch
Beim Fresnelschen Spiegelversuch leuchtet eine Lichtquelle Q auf einen Winkelspiegel Sp1/Sp2. Dadurch entstehen zwei virtuelle Lichtquellen L1 und L2, deren Licht kohärent ist. Das Licht dieser beiden Quellen interferiert dann miteinander und auf einem Schirm sieht man ein Interferenzmuster aus konfokalen Hyperbeln.
(Quelle: Weber, Seite 644)
Die Koordinaten der Lichtquellen sind, im obigen Koordinatensystem gemessen:
L1: x=-d/2, y=0, z=l

L2: x=d/2, y=0, z=l
In der Beobachtungsebene ist z=0. Die Wegdifferenz Delta_s der beiden Lichtstrahlen beträgt dann in dieser Ebene (x, y, z=0):
Alle Punkte (x,y), für die Delta_s konstant ist, liegen auf einer Hyperbel. Bei einer Hyperbel ist die Differenz von zwei Punkten konstant. Diese Punkte nennt man Brennpunkte. Da die Lichtwellen miteinander interferieren, findet man konstruktive und destruktive Interferenz:
Man erhält im Experiment eine Interferenzfigur entsprechend dem obigen Bild rechts. Begrenzt wird dieses Bild durch die Kohärenzlänge. Die Wegdifferenz der Wellen darf nicht größer sein als die Länge der Wellenzüge.

Für die Hyperbeln gilt:
(Quelle: HMS, Seite 551)
Je größer der Abstand der Hyperbeln von den virtuellen Lichtquellen ist, umso mehr schmiegen sich die Hyperbeln an ihre Asymptoten an. Im Bild erkennt man, dass diese Geraden, vom Koordinatenursprung ausgehend, dem Winkel Alpham (für das m-te Maximum) einschliessen. Es gilt:
(HMS: 6.105)
Dabei ist d der Abstand der beiden virtuellen Lichtquellen voneinander.
Dazu die Übungsaufgabe Ü6.4-2 aus Hering, Martin und Stohrer:

Bei einem Experiment mit dem Fresnel’schen Winkelspiegel beträgt der Abstand der beiden virtuellen Lichtquellen (Abb. 6.76) d = 0,6 mm. Im Abstand D = 2m von den Lichtquellen befindet sich eine Wand, auf der die Interferenzstreifen beobachtet werden.Wie groß ist der Abstand Delta_x zwischen zwei Interferenzstreifen in der Nähe der Symmetrieachse, wenn als Lichtquelle eine Natriumdampflampe mit Lambda = 589 nm verwendet wird?

Lösung:

Die Orte konstruktiver Interferenz liegen in großem Abstand auf den Asymptoten, deren Winkel durch (6.105) gegeben sind. Delta_x ist der Abstand des ersten Maximums von der Symmetrieachse, Alpha1 ist der Winkel zwischen der Symmetrieachse und der Asymptoten, auf der das Maximum liegt. Wir finden dann aus der Geometrie:
Trotz des großen Abstandes der Lichtquellen von der Wand beträgt der Abstand des ersten Maximums von der Symmetrieachse nur knapp 2 mm.

Mit der Näherung
ist Delta_x proportional zur Wellenlänge.
Interferenzen an dünnen Schichten
Interferenzen gleicher Neigung

Interferenzen können entstehen, wenn das Licht auf eine durchsichtige planparallele Platte fällt. Ein Teil des Lichtes wird an der Oberfläche der planparallelen Platte reflektiert, ein anderer Teil dringt in die Platte ein und wird an der Rückseite der Platte reflektiert. Dieser Teil wiederum tritt an der Oberfläche aus und interferiert mit dem an der Oberfläche reflektiertem Licht.
(Quelle: HMS, Seite 553)
Hier interessiert vor allem der Gangunterschied zwischen den beiden Strahlen 1' und 2'. Die Intensität der anderen reflektierten Strahlen ist zu gering, als dass diese Strahlen noch eine Rolle spielen würden. Die Sammellinse ist die eines Objektives oder die Linse des menschlichen Auges.

Die Phase des Lichtstrahles 1' am Punkt P und die des Lichtstrahles 2' am Punkt C gelangen gleichzeitig ins Auge. Der geometrische Gangunterschied Delta_s zwischen den beiden Lichtstrahlen ist gleich
Delta_s = AB + BC - AP
Im optisch dichteren Medium mit dem Brechungsindex n bewegt sich das Licht jedoch langsamer, so dass der für uns wichtige optische Gangunterschied gleich
Delta_s = n*(AB + BC) - AP
ist. Dies führt nach einiger Rechnung zu folgendem Ergebnis für den optischen Gangunterschied:
Man muss allerdings noch beachten, dass bei der Reflektion am optisch dichteren Medium der Strahl 1' einen Phasensprung von 180°  bzw. Lambda/2 (Reflektion am festen Ende) erfährt. Damit ist der Gangunterschied gleich
Wir finden konstruktive Interferenz bei Delta_s = m*Lambda und destruktive Interferenz bei Delta_s=(2m+1)*Lamba/2:
Bei den durchgelassenen Strahlen 1'' und 2'' ist der Phasensprung von Lambda/2 nicht vorhanden, hier kehren sich die Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz um. Finden wir unter dem Winkel Epsilon bei der Reflektion eine bestimmte Farbe, so leuchtet das durchgelassene Licht in der Komplementärfarbe. Vorausgesetzt natürlich, bei der Beleuchtung der (dünnen) Platte handelt es sich um weisses Licht.

Grundsätzlich spielt die Dicke der Platte keine große Rolle, die Interferenzen treten auf jeden Fall auf. Nur sind bei sehr dünnen Schichten die Interferenzbedingungen lediglich für ganz wenige Wellenlängen des sichtbaren Lichtes erfüllt, so dass Interferenzfarben auftreten können. Ist die Plattendicke d groß verglichen mit der Wellenlänge (beispielsweise Fensterglas), tritt bei so vielen Farben Interferenz auf, dass das reflektierte Licht wieder weiss erscheint.

Schöne Beispiele für Interferenzfarben finden wir bei Seifenblasen, dünnen Ölfilmen auf Wasser und Oxidschichten auf Metallen (Anlauffarben bei Stahl).

Das Bild zeigt einen Wismutkristall, bei etwa 300°C aus der Schmelze gezüchtet. Nur dann entsteht durch Oxidation die dünne Oxidschicht, welche für die Interferenzfarben verantwortlich ist.
(Quelle: Wikipedia, 584px-Bi-crystal.jpg)
Beispiel 6.4-1 aus Hering. Martin, Stohrer:

Eine Seifenlamelle mit der Dicke d = 350 nm wird mit weißem Licht senkrecht beleuchtet. Welche Farbe hat das von der Seifenhaut reflektierte Licht, wenn der Brechungsindex n = 1,33 beträgt?

(Bei senkrechtem Auftreffen ist der Winkel Epsilon gleich 0°, der Sinus von 0° ist gleich 0)

Lösung:
Jetzt muss man die betreffenden Wellenlängen durch Einsetzen von m ermitteln:

          m = 0: Lambda = 1862 nm

          m = 1: Lambda = 621nm

          m = 2: Lambda =  372 nm

          m = 3: Lambda = 266 nm

Im sichtbaren Bereich liegt nur die Wellenlänge 621 nm. Die Seifenblase hat daher eine rote Farbe.
Übungsaufgabe: Sommer2012_Aufgabe05.pdf
Newtonringe
Viele kennen das noch: Während eines Diavortrages sieht man auf einmal ein farbiges Muster auf der Leinwand, welches das eigentliche Foto überlagert. Es handelt sich dabei um die sogenannten "Newtonringe", Sie entstehen, wenn das Dia mit einem Glasrahmen gerahmt ist und sich der Film, bedingt durch die Wärme der Projektionslampe, ausdehnt und sich an das Glas des Rähmchens anschmiegt.
(Quelle: Wikipedia, Newton_rings_close-up.jpg)
Das folgende Bild zeigt die Berechnungsgrundlage für das Phänomen des Newtonringe:
(Quelle: HMS, Seite 556)
Auf einer planen Glasplatte liegt eine plankonvexe Linse mit einer großen Brennweite, also einem großen Krümmungsradius R auf. Die Anordnung wird senkrecht von oben beleuchtet und es entstehen Interferenzen durch die Luftschicht im Raum zwischen Linse und Platte. Diese Interferenzen äußern sich als konzentrische Kreise von Helligkeit und Dunkelheit mit dem Radius rm. Die Dicke der Luftschicht sei dabei dm.

Die Geometrie ergibt folgenden Zusammenhang zwischen dm, R und rm:
Damit gilt dann für dm:
Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied der Wellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
Damit folgt für den Radius der hellen Ringe
und den Radius der dunklen Ringe
Übungsaufgabe Ü6.4-3 von Hering. Martin, Stohrer:

Zur Bestimmung der Wellenlänge von monochromatischem Licht werden Newton’sche Ringe nach Abb. 6.80 (Anmerkung: Bild oben) ausgemessen. Die Plankonvexlinse hat die Brennweite f'= 5 m und den Brechungsindex n = 1,5. Der zehnte dunkle Ring hat den Radius r10 = 4 mm. Wie groß ist die Wellenlänge des Lichtes?

Lösung:

Die Linsenmachergleichung liefert den Zusammenhang zwischen Brennweite der Linse einerseits und deren Krümmungsradius R andererseits:
Beugung
Die Si-Funktion / die Sinc-Funktion
Wir betrachten die Funktion
Diese Funktion wird auch Si-Funktion oder Sinc-Funktion ("Sinus Cardinalis") genannt - die Nomenklatur ist hier nicht eindeutig. In der Physik wird sie auch als Spaltfunktion bezeichnet. Diese Funktion (grün) und ihr Quadrat (rot) sind hier dargestellt:
Die Nullstellen der beiden Funktionen liegen dort, wo auch die Nullstellen der Sinusfunktion liegen. Mit einer wichtigen Ausnahme: der Stelle x = 0. Dort ist der Funktionswert gleich 1.

Wikipedia schreibt dazu (obiger Link):

Bei der Beugung von Wellen an einem Spalt bilden die Amplituden ein Beugungsmuster, das sich durch Fouriertransformation einer rechteckigen Öffnungsfunktion erklären lässt. Deshalb wird der Kardinalsinus auch als Spaltfunktion bezeichnet. Die bei der Beugung von Licht vom Auge wahrgenommene Helligkeitsverteilung ist allerdings das Quadrat der Wellenamplitude; sie folgt daher der quadrierten Funktion sinc2.

Beugung am Spalt
Bis jetzt wurde Licht als Lichtstrahl angesehen, welcher sich geradlinig ausbreitet. Diese Annahme ist rechtens, wenn die Abmessungen der Objekte oder optisch aktiven Teile von Geräten wesentlich größer als die Wellenlänge des Lichtes sind. Nun beschäftigen wir uns mit Geometrien, die in der Größenordnung der Lichtwellenlänge liegen. Nun begegnen wir dem Phänomen der Beugung.
(Quelle: Wikipedia, 800px-Small_wide_optical_slit.jpg)
Das Bild zeigt zwei Spalte, durch die blaues Licht dringt. Die Breite des oberen Spaltes liegt in der Größenordnung der Wellenlänge und es tritt Beugung auf. Erkennbar in der Mitte an den abwechselnd hellen und dunklen Streifen. Die gemessene Intensitätsverteilung wird oben rechts dargestellt. Der untere Spalt ist wesentlich breiter als die Wellenlänge des Lichtes. Viele Beugungsbilder haben sich überlagert und man sieht das, was man aus dem täglichen Leben eigentlich erwartet: Licht fällt durch einen Spalt und beleuchtet eine Wand. Die Intensitätsverteilung ist fast gleichmäßig.

Man unterscheidet zwischen der Fresnelschen und der Fraunhoferschen Betrachtung der Beugungsphänomene.
(Quelle: HMS, Seite 559)
Bei der Fresnelschen Betrachtung liegen sowohl die Lichtquelle L als auch der Beobachtungspunkt P in endlicher Entfernung vom Spalt. Bei der Fraunhoferschen Betrachtung tritt ein "aus dem Unendlichen" kommendes paralleles Lichtbündel in den Spalt ein, wird gebeugt und verlässt den Spalt  wieder als paralleles Lichtbündel. Zwei Sammellinsen, in deren Brennebenen L und P liegen sorgen dafür, dass die Anordnung endlich groß bleibt.

Wir werden uns hier die Fraunhofersche Betrachtungsweise zu eigen machen.

Dazu nehmen wir einen Spalt der Breite b an, der in senkrechter Richtung unbegrenzt sein soll. Dieser Spalt werden von links mit parallelen Lichtstrahlen beleuchtet, wir haben also eine ebene Wellenfront. Jeder Punkt dieser Wellenfront sendet nach dem Prinzip von Huygens und Fresnel Kugelwellen aus. Dies sei im Bild für acht Punkte innerhalb des Spaltes angenommen. Die Punkte haben den Abstand s voneinander. Das Licht breitet sich nun nach allen Seiten aus, wir betrachten die Intensitätsverteilung in einem beliebigen Winkel Alpha.
(Quelle: HMS, Seite 560)
Da das Licht eine elektromagnetische Welle ist, kann man die Amplitude der elektrischen Feldstärke durch Überlagerung der Wellen berechnen. Diese Berechnung sei hier übersprungen, da sie zuviele Mathematikkentnisse voraussetzt. Wichtig ist das Ergebnis:
Hier finden wir unsere Si-Funktion wieder.

Nun misst man allerdings nicht die Größe der elektrischen Feldstärke, sondern die Intensität des Lichtes. Diese hängt quadratisch mit der Feldstärke zusammen, so dass man schreiben kann:
Dabei ist I(0) die Intensität, die im Winkel Alpha gleich 0 Grad messbar ist. Hier finden wir das Quadrat der Si-Funktion. Das folgende Bild zeigt die Intensitätsverteilung als Graph und als Fotografie:
(Quelle: Wikipedia, Single_slit_intensity_distribution.png)
Man erkennt, dass der größte Teil des Lichtes im Bereich von Alpha gleich 0 Grad auf die Wand/den Empfänger trifft. Es gibt aber auch Nebenmaxima und dazwischen Stellen völliger Dunkelheit.
An den Nullstellen der Intensitätsfunktion herrscht Dunkelheit. Die Bedingung dafür lautet
Für die Nebenmaxima (Helligkeit) gilt
Je größer die Wellenlänge ist, umso stärker wird das Licht bei gleicher Spaltbreite gebeugt. Das Beugungsbild von rotem Licht ist breiter als das von blauem Licht.

Mit diesem Applet kann man Farbe und Spaltbreite ändern und sehen, was dann geschieht:

einfachspalt.htm

Übungsaufgabe:

Optik/Sommer2008_Aufgabe06.pdf
Beugung am Gitter
Ordnet man mehrere Spalte nebeneinander an, so erhält man ein Beugungsgitter.
(Quelle: HMS, Seite 565)
Im obigen Bild sind fünf Spalte mit der Breite b im Abstand g voneinander angebracht. Diesen Abstand g nennt man Gitterkonstante. Beispielsweise hat ein Gitter mit 100 Linien pro Zentimeter eine Gitterkonstante von g = 0.01 cm.

Wir nehmen nun an, dass von links ein paralleles Lichtbündel auf diese Anordnung von Spalten trifft. An jedem dieser Spalte treten rechts Elementarwellen aus, welche sich überlagern. Wir betrachten nun die Intensität I(Alpha) dieser überlagerten Elementarwellen im (beliebigen) Winkel Alpha.

Der Gangunterschied zwischen zwei benachbarten Elementarwellen beträgt
und damit gilt für den Phasenunterschied
Eine ähnliche Berechnung wie bei der Beugung am Spalt führt dann zu folgender Formel für die Intensitätsverteilung als Funktion des Winkels Alpha:
Dabei ist p die Anzahl der Spalte, im obigen Bild also fünf.

Diese Funktion nennt man die Interferenzfunktion. Zusätzlich zur Interferenzfunktion finden wir noch die Intensitätsverteilung zur Beugung am Einzelspalt, die Spaltfunktion. Diese Funktionen werden miteinander multipliziert und ergeben dann die endgültige Verteilung der Intensität bei der Beugung am Gitter:
EIn klassisches Beispiel ist die Beugung am Doppelspalt mit p = 2:
(Quelle: HMS, Seite 565)
Die Interferenzfunktion oszilliert schnell, die Spaltfunktion langsam. Die stärksten Linien liegen innerhalb des ersten Maximums der Spaltfunktion.

Etwas deutlicher wird dieser Zusammenhang in diesem Bild:
(Quelle: Wikipedia, 800px-Double-slit_diffraction_pattern.png)

Die braun gezeichnete Einhüllende der Spaltfunktion moduliert die Interferenzfunktion des Doppelspaltes, das Ergebnis ist die grün gezeichnete real zu messende Intensitätsverteilung.

Wir untersuchen die Interferenzfunktion und ersetzen das komplizierte Argument durch ein einfacheres:
Für unterschiedliche p erhalten wir
(Quelle: HMS, Seite 566)
Bei den Winkeln Alpham
beträgt der Gangunterschied zwischen den Wellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge Lambda und es treten Hauptmaxima auf. Dazwischen liegen p-2 Nebenmaxima. Die Höhe dieser Nebenmaximal ist jedoch gering im Vergleich zu den Hauptmaxima und wird mit steigendem p immer geringer. Bei den üblicherweise verwendeten Gittern mit großem p kann man diese Nebenmaxima vernachlässigen. Ausserdem werden die Linien der Hauptmaxima mit steigendem p immer dünner, die Trennung wird schärfer. Je mehr Teilstrahlen an der Interferenz teilnehmen umso schärfer werden die Bedingungen für Interferenz und umso dünner die Linien.

Die Bedingung für ein solches Hauptmaximum lautet:
Die Beugungsfunktion eines Gitters mit p = 40 Spalten ist hier dargestellt:
(Quelle: HMS, Seite 567)
Man erkennt die scharfen Linien der Maxima, die langsam variierende Einhüllende der Spaltfunktion ist gestrichelt eingezeichnet.

Das nächste Bild zeigt Beugungsbilder zweier Gitter mit unterschiedlichen Gitterkonstanten. Je kleiner die Gitterkonstante (jemehr Spalte pro cm) ist, umso weiter werden die Maxima auseinander gezogen.
(Quelle: HMS, Seite 567)
Bisher wurde vorausgesetzt, dass es sich bei dem Gitter um ein Transmissionsgitter handelt: Licht dringt durch Spalten auf die andere Seite. Es gibt aber auch Reflektionsgitter: Licht trifft auf eine reflektierende Oberfläche mit Rillen. So ist auch der Versuch mit der CD aus dem Praktikum zu verstehen.
(Quelle: Ruckelshausen, Versuchsanleitung CD-Gitter)
Das weisse Licht einer Lampe wird von einer CD gebeugt und an einer Wand sichtbar gemacht:
(Quelle: Wikipedia, CD_AsDiffractionGrating.jpg)
Die Formeln für Transissionsgitter und Reflektionsgitter sind identisch.

Zum Abschluss des Abschnittes zwei Übungsaufgaben aus Hering, Martin, Stohrer:

Ü6.4-13 Welche Beugungsordnungen treten auf, wenn ein Gitter mit 1200 Strichen/mm mit grünem Licht der Wellenlänge Lamba = 550 nm durchstrahlt wird?

Lösung:
Der Sinus eines Winkels kann nie größer als 1 werden, so dass gilt
m = -1, 0 und 1
Ü 6.4-14 Ein Strichgitter mit 1000 Strichen/mm wird mit gelbem Natriumlicht der Wellenlänge Lambda = 589 nm durchstrahlt. Unter welchem Winkel Alpha1 zur Gitternormalen liegen die Beugungsmaxima erster Ordnung?

Lösung:
Übungsaufgaben:

Sommer2010_Aufgabe05.pdf

Sommer2011_Aufgabe04.pdf

Quellen:

"HMS": Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, 10. Auflage 2007, Springer Verlag Berlin, Heidelberg New York.

Kuchling, Taschenbuch der Physik, Fachbuchverlag Leipzig, 19. Auflage 2007

Ulrich Leute, Optik für Medientechniker, Fachbuchverlag Leipzig, 2011

Reinhart Weber: Physik, Teil 1: Klassische..., Teubner Verlag, 1. Auflage 2007
Zwei Videos:

Laserbeugung am Spalt: http://www.youtube.com/watch?v=H4ow78Qves0

Lokal: Spalt

Laserbeugung am Loch: http://www.youtube.com/watch?v=SqvSiNfPQco

Lokal: Loch